具有(yǒu)很(hěn)寬截止帶的邊緣濾光片往往會(huì)出現尖峰[1]，這些(xiē)峰值具有(yǒu)較高(gāo)透射率，并且在光譜範圍上(shàng)很(hěn)窄。這是由濾光片的核心腔體(tǐ)結構導緻的。腔體(tǐ)的存在會(huì)稍微擴展特性，因此有(yǒu)時(shí)會(huì)采用優化或合成工藝來(lái)引入它們。峰值随系統任何層的厚度變化而移動，因此它始終存在于目标點之間(jiān)。優化過程中增加目标點的密度在某種程度上(shàng)是有(yǒu)幫助的，但(dàn)是尖峰可(kě)能非常窄，要消除它們，意味着點的密度非常高(gāo)，但(dàn)是收斂速度會(huì)非常慢。
然後四分之一堆棧有(yǒu)一個(gè)更高(gāo)級次的反射峰。如果截止帶足夠寬，結構的一部分的高(gāo)階區(qū)可(kě)能與另一部分的低(dī)階區(qū)重合。這也通(tōng)常會(huì)增加一些(xiē)尖峰，特别是在高(gāo)反射和(hé)低(dī)透射率區(qū)的短(duǎn)波端。這個(gè)尖峰問題沒有(yǒu)完全的解決辦法。幸運的是，在許多(duō)情況下，我們尋找低(dī)平均透射率或高(gāo)平均反射率，那(nà)麽峰值問題就不那(nà)麽令人(rén)擔心。但(dàn)也有(yǒu)一些(xiē)應用要求絕對透射率低(dī)于一定水(shuǐ)平。在這種情況下，導數(shù)目标可(kě)以幫助。
我們看一個(gè)邊緣大(dà)概在700nm的短(duǎn)波通(tōng)濾光片，我們希望可(kě)見光區(qū)域的透射率小(xiǎo)于0.1%，并且在到1000nm具有(yǒu)高(gāo)透射率。為(wèi)簡單起見，我們使用無色散材料，入射介質折射率為(wèi)1.00，基底為(wèi)1.52，薄膜材料為(wèi)1.45（L）和(hé)2.35（H）。最初的設計(jì)是一個(gè)簡單的四分之一堆棧，參考波長為(wèi)550 nm，公式：（LH）^35 L。目标是：400nm-690nm，步長2.0nm-透過率小(xiǎo)于等于0.1%，公差0.1%，權重2.0。715nm-1000nm，步長2.0nm-透過率等于100%，公差1.0%，權重1.5。
圖1.在通(tōng)帶具有(yǒu)出色的透射率，但(dàn)是截止帶有(yǒu)峰值會(huì)影(yǐng)響性能。
圖2.仔細檢查峰值，即405納米處的峰值，表明(míng)它們存在于将插的入目标點之間(jiān)，所以在優化過程中會(huì)忽略它們。
結果如圖1和(hé)圖2所示。透射率很(hěn)好，但(dàn)通(tōng)常會(huì)出現尖峰。它們主要位于目标點之間(jiān)，如圖2所示，它們就不會(huì)被優化函數(shù)記錄下來(lái)。而且将目标值減少(shǎo)到零透射率，并将運算(suàn)符設置為(wèi)等号，結果幾乎沒有(yǒu)區(qū)别。圖3和(hé)圖4顯示了相同初始設計(jì)的優化結果，但(dàn)目标修改後更依賴于一組導數(shù)目标。新的目标如下：
400nm-690nm，步長2.0nm。要求透射率的一階導數(shù)為(wèi)0.0%，公差為(wèi)0.0002，權重為(wèi)1.0。
400nm-650nm，步長50nm。透射率小(xiǎo)于等于0.1%，公差0.1%，權重2.0。
690nm，透過率小(xiǎo)于等于0.3%，公差0.1，權重5.0。這個(gè)目标要求會(huì)略微寬松一點，這是為(wèi)了幫助形成邊緣。
715nm-1000nm，步長2nm。透過率等于100%，公差1.0%，權重1.5。
在分配這些(xiē)目标值時(shí)沒有(yǒu)深入的推理(lǐ)。它們隻是根據經驗選擇的，可(kě)能是相當有(yǒu)效的。導數(shù)不涉及明(míng)确的透過率數(shù)值，因此增加了要求0.1%或更低(dī)透射率的透射率目标，但(dàn)間(jiān)距相當大(dà)。導數(shù)目标的意思是為(wèi)了識别一個(gè)上(shàng)升的趨勢，并在相關的透過峰值變得(de)過高(gāo)之前停止它。通(tōng)過用這種方式抑制(zhì)峰值，我們需要一組比使用絕對透過率值更稀疏的目标點，就像我們在第一個(gè)例子中所做(zuò)的那(nà)樣。峰值上(shàng)升的坡度必須較低(dī)，将其值設置為(wèi)零，且公差很(hěn)小(xiǎo)。同樣，所使用的值是根據相關經驗而不是任何相關理(lǐ)論來(lái)選擇的。圖3和(hé)圖4顯示了新的結果。在對數(shù)刻度上(shàng)，仍然有(yǒu)許多(duō)變化，但(dàn)實際上(shàng)非常小(xiǎo)，因為(wèi)是被對數(shù)刻度放大(dà)的。同時(shí)，這項技(jì)術(shù)雖然集中在截止帶上(shàng)，但(dàn)是通(tōng)帶的波紋已經受到了輕微的影(yǐng)響。
圖3.包含導數(shù)目标的優化完成後的結果
圖4.以對數(shù)刻度顯示曲線
導數(shù)目标對透過率絕對值的忽視(shì)是它的一個(gè)缺點，這就是為(wèi)什麽我們在低(dī)透射率下增加稀疏目标的原因。在合成過程中，層數(shù)較低(dī)時(shí)，導數(shù)會(huì)占主導地位，可(kě)以保持性能平坦的特性，但(dàn)是抑制(zhì)了添加層數(shù)的功能，所以導數(shù)目标不能很(hěn)好的搭配合成功能。導數(shù)目标應該在優化功能中使用。Differential Evolution 是一個(gè)很(hěn)好的選擇，利用導數(shù)目标，如圖5，是使用相同材料的47層短(duǎn)波通(tōng)濾光片。
圖5.一種47層無尖峰短(duǎn)波濾光片，該濾光片由截止帶內(nèi)具有(yǒu)導數(shù)目标的Differential Evolution優化技(jì)術(shù)産生(shēng)。
[1] C. Clark and A. Macleod, "Spikes," in 55th Annual Technical Conference, Society of Vacuum Coaters: Santa Clara. p. 263-267, (2012).
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