基于多(duō)自由曲面的照度調整算(suàn)法

Axel Bauerle, 1, 2 Adrien Bruneton, 1∗ Rolf Wester, 2 

Jochen Stollenwerk, 1, 2 and Peter Loosen1, 2

1Chair for the Technology of Optical Systems, RWTH Aachen University, 52056 Aachen,

Germany

2Fraunhofer Institute for Laser Technology ILT, Steinbachstr. 15, 52074 Aachen, Germany

 

摘要
 

自由曲面透鏡和(hé)反射鏡的設計(jì)能夠獲得(de)非徑向對稱的照度分布，且同時(shí)保持光學系統的緊湊性。對于點狀光源來(lái)說，比如LED，為(wèi)了增加發光效率往往需要捕獲一個(gè)寬角度的光源。這樣往往導緻的結果是産生(shēng)強彎曲光學元件，需要兩個(gè)透鏡面作(zuò)用于總的光的折射，從而最小(xiǎo)化菲涅爾損失。在本篇文章中，我們報道(dào)了一個(gè)基于最優化質量傳遞（optimal mass transport）多(duō)自由曲面光學的設計(jì)算(suàn)法，并結合光學工程仿真軟件FRED對一般照明(míng)問題給出了應用實例。
 

1.前言
 

在照明(míng)應用中，透鏡和(hé)反射鏡可(kě)以以一種預先确定的方式上(shàng)分配光線，市場(chǎng)上(shàng)對這種透鏡及反射鏡的需求越來(lái)越多(duō)。為(wèi)了獲得(de)常用的光分布，光學設計(jì)中自由度數(shù)量必須高(gāo)于傳統的光學元件，這就引入了自由曲面光學的概念，對此有(yǒu)衆多(duō)設計(jì)算(suàn)法提出[1-5]。折射式光學元件(透鏡)在材料-空(kōng)氣界面會(huì)遇到菲涅爾反射，控制(zhì)其精準的路徑來(lái)避免損失難度較大(dà)。因為(wèi)随着光線角度傾斜菲涅爾反射在增加，因此理(lǐ)想情況是使用幾個(gè)自由曲面來(lái)增加系統的光學效率，在這種情況下，一個(gè)單透鏡面足以調整照度分布。
 

到目前為(wèi)止文獻中發布的設計(jì)算(suàn)法，隻有(yǒu)Minano、Benıtez[5]提出的SMS3D方法可(kě)以直接裁剪多(duō)平滑表面，且同時(shí)獲得(de)預定的照度分布，甚至在一定程度上(shàng)可(kě)把擴展光源考慮進去。然而，據作(zuò)者所知，SMS3D算(suàn)法隻是在他們團隊內(nèi)部使用。對于點光源的情況，Ries 和(hé)Muschaweck[2]得(de)出了一組偏微分方程來(lái)描述單個(gè)光學面，但(dàn)一般對于多(duō)光學表面目前還(hái)沒有(yǒu)報道(dào)。
 

在本文中，基于傳輸理(lǐ)論的公式[6]，對兩個(gè)自由曲面和(hé)一個(gè)點光源發射器(qì)的照度調整問題，我們提出了靈活的近似解算(suàn)法。此外，我們利用FRED軟件演示了對于一般照明(míng)設計(jì)任務的可(kě)行(xíng)性。
 

2.光線映射：有(yǒu)關光學設計(jì)的傳輸理(lǐ)論
 

在一般的公式中，質量傳輸理(lǐ)論講述了最優路徑的計(jì)算(suàn)，此計(jì)算(suàn)允許從初始質量分布到目标質量分布的連續傳遞。就光學而言，光通(tōng)量扮演了重要的角色，投射光源描述為(wèi)在2維空(kōng)間(jiān) 上(shàng)光通(tōng)量密度  (圖1)。類似的，目标空(kōng)間(jiān) 上(shàng)的光通(tōng)量密度為(wèi) 。為(wèi)了清楚起見，在3維空(kōng)間(jiān)中，假定 平行(xíng)于2維平面，光通(tōng)量密度 和(hé) 在各自的局部笛卡爾坐(zuò)标（x,y）下被參數(shù)化（圖1）。

圖1.映射計(jì)算(suàn)圖，點光源投射到平面及目标照度投射到 ，自由曲面位置在和(hé) 之間(jiān)。

 

光學系統（自由曲面）的設計(jì)任務相當于發現一個(gè)微分同胚映射（光線映射），以便于照度分布轉換匹配目标分布：

（1）

(tx,ty)代表了光源光線透過上(shàng)的（x,y）在上(shàng)的目标點。因為(wèi)沿着無窮小(xiǎo)燈管從光源到探測目标上(shàng)光通(tōng)量守恒，照度轉換公式可(kě)以寫為(wèi)：

（2）

Du是u的雅克比行(xíng)列式，表示沿着路徑燈管橫截面的壓縮或放大(dà)， 是常用的算(suàn)子符号。在整個(gè)平面上(shàng)積分此公式得(de)到了總的能量守恒關系。
 

因為(wèi)映射u并不是獨一無二的[7]，在光學設計(jì)任務中主要的限制(zhì)是發現可(kě)引導光學表面連續可(kě)微的映射。這也就是所謂的表面法向矢量N可(kě)積條件[8]
 

                  N*curl(N)=0                        (3)
 

計(jì)算(suàn)強制(zhì)滿足方程(3)的光線映射并不是簡單的事情，因為(wèi)由雅克比判決式(Monge-Ampere-type 方程)可(kě)知方程(2)一般等效于非線性二階偏微分方程。處理(lǐ)兩個(gè)光學表面而不是一個(gè)光學表面使這個(gè)問題更具挑戰性。
 

3.近似最優化光線映射
 

表面法線矢量場(chǎng)直接關系到映射信息（通(tōng)過斯涅耳折射定律）。因此，即使現在還(hái)沒有(yǒu)被證實，看起來(lái)似乎是可(kě)信的：如果光線映射的旋度自身減小(xiǎo)，表面法線矢量場(chǎng)的旋度可(kě)大(dà)幅度減小(xiǎo)。
 

使用最新的質量傳遞理(lǐ)論有(yǒu)助于實現這一目标。在處理(lǐ)預定的目标函數(shù)這方面大(dà)部分的工作(zuò)集中在尋找最佳映射。每個(gè)元件的位移、質量權重是具有(yǒu)代表性的二次函數(shù)。幾種不同的解決問題的方法已經被提出[9]。本文中，我們關注于在圖像變換的背景下由Haker提出的一階、無參數(shù)方案[7]。
 

點光源的光通(tōng)量分布投射到方形的2維空(kōng)間(jiān)，因此獲得(de)了平坦的光通(tōng)量密度μ。一個(gè)改進的立體(tǐ)投影(yǐng)通(tōng)常用于獲得(de)這個(gè)通(tōng)量密度，與此同時(shí)控制(zhì)可(kě)捕獲光錐角度。同樣的目标上(shàng)的光通(tōng)量分布投射到一個(gè)平行(xíng)的方形區(qū)域。如圖1所示。
 

Haker的步驟[7]是首先找到μ0和(hé)μ1初始映射關系（通(tōng)常是在笛卡爾坐(zuò)标軸上(shàng)兩個(gè)連續1維數(shù)值積分），初始映射結果用表示。
 

Haker演示了μ0和(hé)μ1所有(yǒu)映射可(kě)用連續變量t表示，同樣的，u可(kě)以看作(zuò)t的函數(shù)， 。通(tōng)量符合如下演化方程：

（4）

Du表示映射的雅克比行(xíng)列式， 代表在二維空(kōng)間(jiān)旋轉90度，是f的解，表示為(wèi)泊松公式。
 

這個(gè)方程的穩态解（當t--->∞ ）已經被Haker證明(míng)了是二次型性能指标最優化映射。本文中，此方程的解使用Hakert數(shù)值技(jì)術(shù)，使用作(zuò)為(wèi)初始點。注意演化方程本身不使用μ1作(zuò)為(wèi)相關信息，因為(wèi)它已經包含在初始映射裏面了。
 

用這種方法減小(xiǎo)映射的旋度會(huì)得(de)到一個(gè)好的積分近似條件，如下面第五部分所示。
 

4.由光線映射構建光學表面
 

使用映射信息，光學表面的計(jì)算(suàn)可(kě)促使光源光線偏轉到想要的目标位置。總的光的偏轉分成幾個(gè)部分（在如下的例子中描述了兩種），對于一個(gè)給定的光學面，每個(gè)都可(kě)實現。在本文中，構建方法是使用标準的最小(xiǎo)二乘優化法。表面使用三角形網格畫(huà)法頂點為(wèi)i=1,……N，他們的位置為(wèi)由下列式子給出：

（5）

r0(i)是光線i的起點，可(kě)以是點光源的位置或光線通(tōng)過另一個(gè)光學面的位置。S(i)是光線的方向矢量，λ(i)是标量參數(shù)定義表面點i。

S(i)和(hé)N(i)給出了光線折射或反射後方向矢量S0(i)。法向矢量N(i)在三角形面頂點位置由頂點相鄰面法向平均加權計(jì)算(suàn)得(de)到。

鑒于S0(i)、光線在光學面上(shàng)的位置r(i)、光線交于目标面的點T(i)都可(kě)以計(jì)算(suàn)。由下式(6)最小(xiǎo)化作(zuò)為(wèi)目标函數(shù)

（6）

Tx(i)和(hé)Ty(i)是給定的參數(shù)矢量 的光線局部目标面的坐(zuò)标，tx(i)和(hé)ty(i)分别是映射算(suàn)法中想得(de)到的局部目标坐(zuò)标。
 

表面構建是基于目标面上(shàng)的光線坐(zuò)标符合積分條件。算(suàn)法與在目标面上(shàng)的光線位置協調進行(xíng)，因此可(kě)在多(duō)個(gè)光學表面偏轉光線，引入額外的自由度到設計(jì)上(shàng)而并非算(suàn)法上(shàng)，因為(wèi)算(suàn)法隻考慮單個(gè)面。
 

使用三角網格算(suàn)法的優勢體(tǐ)現在可(kě)非常靈活的進一步處理(lǐ)結果表面。例如他們可(kě)以細化處理(lǐ)或快速切割，因此，引入了出色的透鏡邊界控制(zhì)條件。結合多(duō)面設計(jì)允許包含加工限制(zhì)條件（如注塑成型可(kě)避免凹陷）。

5.建築照明(míng)：洗牆燈實例應用
 

圖2給出了标準的、高(gāo)光學效率，建築照明(míng)上(shàng)具有(yǒu)挑戰性幾何結構，吸頂燈距離均勻照度接受面80cm。第一步，建立一個(gè)簡單的軸上(shàng)演示設計(jì)，并對比了傳統的非-優化的映射(1維逐次積分)設計(jì)。基于此，建立了更具有(yǒu)挑戰性的傾斜設計(jì)。

圖2.（a）自定義坐(zuò)标軸的洗牆燈應用              (b)簡單的軸上(shàng)方案
 

5.1 軸上(shàng)實例
 

依據上(shàng)面列出的算(suàn)法，一個(gè)初始的光線映射計(jì)算(suàn)出來(lái)，并構建了相應的光學表面結構（假設材料是PMMA，n=1.49），最小(xiǎo)化目标函數(shù)(公式6)。為(wèi)完善設計(jì)，對如上(shàng)的初始映射進行(xíng)了優化，第二組表面随後被構建。圖3給出了相應的映射，分别表示為(wèi)規則網格的變形及z分量的旋度。當系數(shù)為(wèi)200時(shí)總的旋度量急劇(jù)減小(xiǎo)。

圖3. 光線映射（表示為(wèi)規則網格的變形）及相應的Z分量旋度映射，(a) 優化前 (b) 優化後

 

在兩種表面處執行(xíng)了蒙特卡洛光線追迹，圖4給出了每種情況的最終照度分布。500萬條光線、目标面上(shàng)探測器(qì)分辨率點為(wèi)71*71，所有(yǒu)的這些(xiē)均由FRED[10]光學工程仿真軟件來(lái)完成。光源是标準的朗伯體(tǐ)點發射器(qì)，半角分布為(wèi)70度圓錐角，方向沿着z軸。

盡管透鏡的形狀極其相似，圖4（d）中的光分布顯示了與均勻照度分布相比顯示了極小(xiǎo)的變形。證實了旋度減少(shǎo)得(de)到了令人(rén)滿意的光線映射，例如與初始映射相比更好的與積分條件（公式3）的匹配，同時(shí)更接近想要的光通(tōng)量變化。

 

 

圖.4 FRED軟件線框圖示及用蒙特卡羅光線追迹後輻照度分布（任意單位）。(a)和(hé)(c)沒有(yǒu)映射優化;(b)和(hé)(d)映射優化後