目錄
 

簡介

FRED基礎：相幹性建模

鎖定FRED特點：相幹場(chǎng)重采樣

相幹光源定義

高(gāo)斯光線尺寸點列圖工具

光線狀态

相幹場(chǎng)重新采樣

相幹标量場(chǎng)分析

FRED中部分相幹性示例：衍射儀
 

FRED基礎：相幹性建模
 

FRED關于激光光束的追迹采用高(gāo)斯光束分解技(jì)術(shù)（Gaussian beam decomposition，GBD）來(lái)傳輸相幹場(chǎng)，最早由Arnaud 在1969年提出，是一組高(gāo)斯光束子波(beamlet)可(kě)以合成任意的複數(shù)場(chǎng)。傳統的GBD方法局限在兩種極端情況下，一種是空(kōng)間(jiān)分解法，子波均勻分布在格子點上(shàng)，另一種是傅裏葉分解，根據空(kōng)間(jiān)頻率譜分解為(wèi)在一個(gè)空(kōng)間(jiān)位置具有(yǒu)不同相位和(hé)方向的子光束。對此，Gabor對Arnaud的方法進行(xíng)了擴展，并用在FRED中，允許這兩種方法結合起來(lái)以一種更加靈活的方式來(lái)拓寬使用條件。

 

在FRED中，由高(gāo)斯子光束的疊加來(lái)描述光的的傳播。中心的“Base”光線代表着子光束的傳輸軌迹，額外的二級“束腰”和(hé)“發散”光線記錄子光束參數(shù)的變化。子光束和(hé)它對應的光線的關系如下圖所示。當子光束經過折射、反射和(hé)衍射，這些(xiē)光線完全描述了該子光束特性，因此這個(gè)過程被稱為(wèi)“complex raytracing.”。在系統中的任何平面，通(tōng)過确定在分析面上(shàng)的每個(gè)位置處每個(gè)子光束的貢獻和(hé)對相位的比例來(lái)計(jì)算(suàn)相幹場(chǎng)。

 

因為(wèi)它們是高(gāo)斯型的，子光束服從與遠場(chǎng)發散半角θ和(hé)最小(xiǎo)束腰半徑ω0有(yǒu)關的方程（其中λ是波長，n是介質的折射率）：

   (1)

子光束的半徑在傳播過程中變化，與束腰光線高(gāo)度hw和(hé)發散光高(gāo)度hd有(yǒu)關：

  (2)

 

其中光線高(gāo)度相對于Base ray。
 

為(wèi)使模型變得(de)精确，它們必須要保持高(gāo)斯型并遵循近軸近似，這是相幹光線追迹中最重要的考慮因素。嘗試在近軸限制(zhì)之外操作(zuò)高(gāo)斯子光束傳播會(huì)使準确性大(dà)打折扣。二級光線未能保持與它們的Base Rays好的相關性可(kě)能會(huì)導緻相幹光誤差和(hé)錯誤的輻照度計(jì)算(suàn)。

 

雖然沒有(yǒu)精确的定義，近軸近似可(kě)以使用至少(shǎo)兩種形式描述： 。在這兩種情況中，對于 一個(gè)合适的選擇是0.1弧度，大(dà)約為(wèi)6度。根據公式1，近軸近似最明(míng)顯的隐意是子光束的束腰半徑ω0必須大(dà)于等于3 。在實際使用中，用戶應該考慮具有(yǒu)一定餘量的操作(zuò)，可(kě)能是5-10 。通(tōng)過追迹二級光線并計(jì)算(suàn)光學不變量H’nU - HnU’（其中H是光線高(gāo)度，n是材料折射率，U是 ），FRED記錄了子光束的相位。如果對于一個(gè)給定的相幹光線不變量超出了 ，則用于計(jì)算(suàn)的光線會(huì)被告知無效。不變量作(zuò)為(wèi)一個(gè)內(nèi)部尺度，告訴了子光束的好壞程度。

 

當定義好一個(gè)相幹光源，FRED設置了一個(gè)光線網格，并使用網格間(jiān)距 （這是網格的寬度 被穿過網格的光線數(shù) 劃分所得(de)），和(hé)一個(gè)光束重疊因子（OF）來(lái)設置子光束的束腰半徑 ，如方程3和(hé)4所示。随機光線網格不應該被用于相幹源，因為(wèi)網格間(jiān)距不均衡，将會(huì)産生(shēng)不同的束腰半徑。對于網格寬度和(hé)光線數(shù)中的x和(hé)y值可(kě)單獨控制(zhì)。在FRED追迹光線的點處，子光束的束腰半徑是：

  (3)

使用更常見的束腰半徑慣例增加了一個(gè)額外的因素，

  (4)

重疊因子是在網格上(shàng)相鄰子束之間(jiān)的部分重疊，并具有(yǒu)1.5的默認值（很(hěn)少(shǎo)改變）。因此，要保持 的近軸限制(zhì)內(nèi)，對于可(kě)見光（λ=0.5 μm），網格間(jiān)距應該是 ，一個(gè)更加合理(lǐ)的範圍為(wèi)5-10μm。

 

鎖定FRED特點：相幹場(chǎng)重采樣
 

有(yǒu)某些(xiē)情況下，當使用正确定義的相幹光源仍然會(huì)導緻相幹光線的錯誤。在這個(gè)例子中，一個(gè)Thorlabs 5倍擴束器(qì)（BE05M）用來(lái)演示FRED的相幹光場(chǎng)重采樣特征，以及其他一些(xiē)有(yǒu)用的工具。

 

通(tōng)過導入由Thorlabs提供的CAD文件，并且用FRED自帶的透鏡元件及光學特性來(lái)代替光學CAD部分，我們可(kě)以在FRED中模拟擴束器(qì)。圖2顯示了使用3D剖面圖顯示系統布局。

 

圖2 一個(gè)Thorlabs 5倍擴束器(qì)的FRED模型。FRED的3D剖面圖用于顯示外殼的內(nèi)部構造。

 

相幹光源定義
 

在FRED中有(yǒu)一些(xiē)默認的光源，包括平行(xíng)光源，點光源，高(gāo)斯TEM00模激光束和(hé)激光二極管光束。相幹的高(gāo)斯He-Ne激光束用于這個(gè)例子。一個(gè)高(gāo)斯光束的輸入參數(shù)有(yǒu)光束大(dà)小(xiǎo)（束腰半孔徑）、網格大(dà)小(xiǎo)（在采樣平面處的腰部半孔徑）和(hé)整個(gè)平面上(shàng)點的數(shù)目。一個(gè)好的經驗法則是設定光束大(dà)小(xiǎo)（束腰半徑）為(wèi)網格尺寸的一半。在這個(gè)例子中，光束被定義為(wèi)圓形，在2mm*2mm的每個(gè)方向有(yǒu)41條光線穿過的網格上(shàng)（W），束腰半徑是0.5mm（直徑1mm）。這是一個(gè)完全有(yǒu)效的相幹光源定義。它的子光束有(yǒu)大(dà)約41.7μm的束腰半徑，遠大(dà)于6.328μm的10 邊界；同時(shí)有(yǒu)0.28°的發散角（ ），遠小(xiǎo)于6°的近軸限制(zhì)。

 

在 點（方程4）處的束腰半徑是：

 

子光束發散角為(wèi)：

 

 

高(gāo)斯光線尺寸點列圖工具
 

FRED的高(gāo)斯光線尺寸點列圖工具對于檢驗高(gāo)斯子光束特性、可(kě)視(shì)化二級光線位置和(hé)診斷相幹光線的錯誤非常有(yǒu)用。該工具利用對應的1/e2橢圓來(lái)繪制(zhì)基準光線。盡管沒有(yǒu)明(míng)确繪制(zhì)，二級束腰光線沿着該橢圓一般有(yǒu)4個(gè)，在 和(hé) 方向。FRED在高(gāo)斯光線尺寸點圖中繪制(zhì)了一個(gè)1/e2束腰光線橢圓，但(dàn)是在光線追迹中使用了沿着稍小(xiǎo)的1/eπ/2橢圓的二級光線。圖3顯示了在兩個(gè)位置處激光光源的高(gāo)斯點圖：(a)在光源處，(b)在下遊的650mm處。基準光線是完全準直的，但(dàn)激光光束本身是發散的，這可(kě)以通(tōng)過注意1/e2橢圓（在這種情況下圓形）已傳播650毫米後尺寸的增加來(lái)觀察。

 

圖3 高(gāo)斯光線尺寸點列圖，放大(dà)的中心用以顯示細節。(a)在光源位置。(b)當光束傳播了650mm後，輪廓如最右邊的子光束。基準光線準直，二次光線發散。

 

假設擴束器(qì)是光學系統的一部分，它需要第一表面距離激光源650毫米。一個(gè)例子是馬赫澤德幹涉儀，在其臂處有(yǒu)不同的光束尺寸，如圖4所示。

 

圖4 馬赫澤德幹涉儀的FRED模型，在一個(gè)臂處有(yǒu)擴束器(qì)。

 

仔細觀察圖3b，發現子光束輪廓直徑大(dà)約是6mm。擴束器(qì)的發散透鏡隻有(yǒu)5mm的直徑。因此推斷二級光線被略去的似乎是合理(lǐ)的，但(dàn)情況并不是這樣的。複合光線追迹的基本準則之一是：如果基準光線與一個(gè)表面相交，然後所有(yǒu)它的二級光線一定與同樣的表面相交。通(tōng)過在數(shù)學上(shàng)延展表面與每個(gè)二級光線相交，如圖5所示，FRED強制(zhì)執行(xíng)該準則。當執行(xíng)光線追迹時(shí)，所有(yǒu)的光線通(tōng)過該表面。

 

圖5 光學表面的數(shù)學延伸算(suàn)法，用于與不和(hé)實際表面相交的二級光線相交。

 

有(yǒu)三種類型的相幹光線的錯誤（在下面的部分中討(tǎo)論），如果它是不能正确地傳播的光線，在光線追迹後，FRED隻顯示了一個(gè)警告。就好像如果它無法在數(shù)學上(shàng)延伸必要的表面，它就會(huì)發生(shēng)。在執行(xíng)分析時(shí)，另外兩個(gè)相幹光線錯誤隻會(huì)産生(shēng)一次警告。在擴束器(qì)的情況下，該追迹的光線沒有(yǒu)錯誤或警告，這是由于透鏡的球面很(hěn)容易擴展。但(dàn)是當執行(xíng)分析時(shí)，問題升級了，因為(wèi)二級光線不再與基準光線良好相關，子光束從完美的高(gāo)斯型變成了過于發散。

 

光線狀态
 

FRED的光線狀态工具處理(lǐ)問題非常方便，如該擴束器(qì)模型，其中有(yǒu)一個(gè)問題，但(dàn)細節和(hé)原因還(hái)不清楚。光線狀态會(huì)輸出目前系統中所有(yǒu)光線的狀态，如圖6所示。有(yǒu)三種類型的相幹光線錯誤：

1.相幹二級光線追迹錯誤（Coherent secondary ray raytrace errors:）：這表明(míng)，在光線追迹的過程中，發生(shēng)了一些(xiē)事件阻止了所有(yǒu)光線被正确追迹。在光線追迹完成後，描述了特定問題的一個(gè)警告呈現在輸出窗口的光線追迹摘要中。舉個(gè)例子，如果一個(gè)基準光線穿過了一個(gè)球透鏡，但(dàn)是二級光線與該透鏡沒有(yǒu)相交，延伸光學表面使得(de)二級光線産生(shēng)相交是不可(kě)能的，然後FRED會(huì)輸出如下的消息：“Rays halted because unable to complete coherent secondary ray intersection(warn: 18)”。

2. 相幹二級光線不變量違規(Coherent secondary ray invariant violations)：當子光束偏離高(gāo)斯光束太遠，這個(gè)錯誤就會(huì)産生(shēng)。當光線追迹完成時(shí)，沒有(yǒu)錯誤或警告，嘗試分析時(shí)會(huì)産生(shēng)一次。

3. 相幹光線高(gāo)斯指數(shù)衰減違規（Coherent ray Gaussian exponential decay violations）：此錯誤非常類似于前一個(gè)，但(dàn)表示該子光束已經變得(de)太發散。直到嘗試分析時(shí)，才會(huì)報告一些(xiē)錯誤或警告。

 

在擴束器(qì)的例子中，所有(yǒu)1313條光線違反二級光線不變量和(hé)高(gāo)斯指數(shù)衰減，因此是無效的。如圖6所示，概要顯示了在光線追迹過程中可(kě)能産生(shēng)的錯誤，這在對系統進行(xíng)故障排除時(shí)作(zuò)為(wèi)切入點是很(hěn)有(yǒu)用的。

 

圖6 輸出窗口顯示了光線狀态概中相幹光線錯誤要結果

 

相幹場(chǎng)重新采樣

 

相幹光場(chǎng)重采樣特征可(kě)以用來(lái)解決相幹光線的錯誤，通(tōng)過計(jì)算(suàn)和(hé)産生(shēng)一組新的在擴展空(kōng)間(jiān)區(qū)域重現當前标量場(chǎng)相幹光線。新光線歸納起來(lái)産生(shēng)相同的場(chǎng)，但(dàn)新合成的子光束重新定義了束腰和(hé)發散角。這類似于産生(shēng)具有(yǒu)性能良好的子光束的一個(gè)全新的光源。面積、像素大(dà)小(xiǎo)和(hé)重新采樣網格的位置由一個(gè)分析表面實體(tǐ)指定。這些(xiē)參數(shù)，就像是光源創建網格，決定了子光束的屬性。因此，在定義一個(gè)光源時(shí)，關于像素尺寸和(hé)間(jiān)距應該有(yǒu)相同的考慮。相幹光場(chǎng)重采樣執行(xíng)以下操作(zuò)：波前計(jì)算(suàn)，任何球形和(hé)傾斜項的去除，光場(chǎng)的重新采樣，球面和(hé)傾斜項的合并，在分析表面上(shàng)每個(gè)像素的中心創建一個(gè)新的子束來(lái)再現原始光場(chǎng)。相幹光場(chǎng)重新采樣對話(huà)窗口如圖7所示。

 

在此擴束器(qì)的例子中，光場(chǎng)的重新采樣就在與原始光源具有(yǒu)相同的光束參數(shù)的第一個(gè)（發散）透鏡的前面，因為(wèi)它已經确定該束腰和(hé)發散是合理(lǐ)的。我們創建了比發散透鏡（半孔徑2mm）的尺寸略小(xiǎo)的分析面，調整分割數(shù)來(lái)産生(shēng)于初始光源（73）相同的束腰。這種調整是有(yǒu)必要的，因為(wèi)初始光源是定義在圓形網格上(shàng)，而新的光場(chǎng)是定義在方形分析表面上(shàng)。

 

使用高(gāo)級光線追迹功能，追迹從光源到第一個(gè)透鏡的光線，該功能可(kě)以在光線追迹的過程中實現精确的控制(zhì)，包括在特定的平面上(shàng)停止光線追迹。然後光場(chǎng)可(kě)以被重新采樣(Raytrace > Spatially Resample Scalar Field…)，删除現存的光線，并用新定義的光線替換它們。重新采樣場(chǎng)應該與初始場(chǎng)相同，唯一的不同是用于定義它的光線。然後使用Trace Existing Rays或Trace and Render Existing命令，追迹系統剩餘部分的光線。

 

圖7 光場(chǎng)重新采樣功能對話(huà)框

 

除了解決相幹光線錯誤，相幹光場(chǎng)重采樣也可(kě)以在一個(gè)表面欠采樣是的情況下使用。例如，如果擴束軌迹長度很(hěn)大(dà)，第二透鏡将滿溢和(hé)欠采樣，如圖8所示。因為(wèi)前面所描述的最小(xiǎo)網格尺寸的限制(zhì)，從而增加源光線的數(shù)量不是一個(gè)合适的解決方案。相幹光場(chǎng)重采樣特性可(kě)用于在第二透鏡處重現光場(chǎng)，并合成具有(yǒu)透鏡的足夠空(kōng)間(jiān)采樣的新光線網格。

 

圖8 大(dà)倍率遠焦望遠鏡緻使第二透鏡的欠采樣。

 

相幹标量場(chǎng)分析
 

新光線合成之後，它們可(kě)以通(tōng)過系統被追迹，而沒有(yǒu)相幹光線錯誤，所得(de)到的場(chǎng)可(kě)以分析。相幹光場(chǎng)的能量、相位和(hé)波前可(kě)以用相幹标量場(chǎng)分析工具進行(xíng)研究。圖9顯示了具有(yǒu)用紅色框出的可(kě)用繪圖選項的标量場(chǎng)菜單。它也給出了用于顯示和(hé)輸出圖像、縮放數(shù)據、平滑和(hé)修改圖像數(shù)據、顯示圖像統計(jì)和(hé)執行(xíng)一個(gè)傅立葉變換的選項。圖10顯示了在擴束器(qì)輸出處的場(chǎng)能量、相位和(hé)波前。

 

圖9 當右鍵點擊圖像時(shí)顯示的标量場(chǎng)分析菜單，紅框顯示為(wèi)可(kě)用繪圖。

 

圖10 FRED輸出圖像，顯示a)場(chǎng)能量、b)場(chǎng)相位、c)波前

 

FRED中部分相幹性示例：衍射儀
 

用FRED可(kě)以模拟部分相幹光源，通(tōng)過集相幹的點源為(wèi)一體(tǐ)，每一個(gè)都具有(yǒu)不同的空(kōng)間(jiān)位置和(hé)波長。在FRED部分相幹的建模被限制(zhì)在特殊情況下，這樣的定義才是有(yǒu)效的。

 

類似上(shàng)述的一個(gè)例子是衍射儀，可(kě)用于測量光源的空(kōng)間(jiān)相幹性的幹涉儀。本例是基于由Thompson和(hé)Wolf[1]描述的設置，如圖11所示。一個(gè)擴展的非相幹的光源 ，通(tōng)過一個(gè)透鏡 成像，聚焦到一個(gè)小(xiǎo)孔 上(shàng)。由 産生(shēng)的光經過 準直和(hé) 聚焦到平面F上(shàng)。含有(yǒu)兩個(gè)小(xiǎo)孔 和(hé) 的不透明(míng)的屏A位于 和(hé) 之間(jiān)。孔徑可(kě)以是任意的尺寸和(hé)形狀，可(kě)以放置在平面A上(shàng)的任何位置。

 

圖11 衍射儀

 

圖11的輪廓斷面可(kě)以在FRED中通(tōng)過在小(xiǎo)孔上(shàng)不同波長、随機位置的點光源的聚集來(lái)建模。如果波長在一個(gè)小(xiǎo)的帶寬內(nèi)，這一光源的聚集滿足一個(gè)由Born & Wolfe [2]給出的準單色光的定義。對于這個(gè)例子，使用了在0.579±0.002μm內(nèi)的波長。光源的每個(gè)波長分量在平面F上(shàng)獨立生(shēng)成一個(gè)幹涉圖樣。FRED歸納了相同波長的相幹性和(hé)不同波長非相幹性。因此，在平面F上(shàng)總輻照圖案是每個(gè)波長獨立相幹成分的非相幹總和(hé)。

 

因為(wèi)隻有(yǒu)小(xiǎo)部分光線通(tōng)過了小(xiǎo)孔p1和(hé) p2，所以上(shàng)面描述的光線追迹是非常低(dī)效的。一個(gè)可(kě)以獲得(de)相同結果的更加高(gāo)效的方法是在透鏡 前面定義兩個(gè)光線的圓形網格。光線網格應類似于兩個(gè)小(xiǎo)孔（在x-y平面上(shàng)有(yǒu)相同的間(jiān)隔和(hé)位置），但(dàn)尺寸稍大(dà)，以确保光線溢出小(xiǎo)孔。兩個(gè)圓形光源的光線方向被指定為(wèi)從孔徑 內(nèi)的随機位置始發。FRED有(yǒu)一個(gè)選項用于指定光線的方向，稱為(wèi)Focus to/from a point，這會(huì)産生(shēng)由用戶定義的聚焦到一個(gè)點或從一個(gè)點出發的光線。這兩個(gè)光源都在以稍有(yǒu)不同的波長處創建了許多(duō)次，每一組網格定義成在 孔徑的随機位置出發。圖12顯示了兩組光源，有(yǒu)延伸回到所述孔徑的光線和(hé)一個(gè)有(yǒu)限數(shù)量的光線，以幫助展示光源的創建。總結這一過程，孔徑 中的一個(gè)随機位置被選擇。兩個(gè)光源分别對應于小(xiǎo)孔 和(hé) （組成光源集），就定義在第一個(gè)透鏡前面。對于兩個(gè)光源的光線方向，指定為(wèi)起源于所選擇的随機位置。然後選擇另一個(gè)位置，創建兩個(gè)或更多(duō)的對應光源。對于許多(duō)光源，重複這一過程。在本例中，使用一個(gè)內(nèi)置腳本創建了75組這樣的光源。目标是在小(xiǎo)帶寬內(nèi)的任意位置和(hé)波長處，仿真許多(duō)點光源，它們已經傳播到剛好在 前面的兩個(gè)區(qū)域，這樣它們就覆蓋了小(xiǎo)孔 和(hé) 。圖13顯示了衍射儀的FRED模型。在第一個(gè)透鏡前面創建了光線，但(dàn)是它們已經擴展到 便于視(shì)覺表現。這一選項叫做(zuò)Post-Creation Ray Propagation，在像這樣的情況下是有(yǒu)用的，它有(yǒu)助于可(kě)視(shì)化實際上(shàng)不存在的光線。

 

圖12 創建的兩組光源類似于兩個(gè)小(xiǎo)孔，光線方向從左側的孔徑的随機位置過來(lái)。不顯示透鏡是因為(wèi)便于小(xiǎo)孔的顯示。

 

圖13 衍射儀FRED模型。通(tōng)過變形三維視(shì)圖（Anamorphic 3D View. Anamorphic 3D View.），系統已縮小(xiǎo)Z方向以提供整個(gè)系統的視(shì)圖。

 

根據van Cittert-Zernike理(lǐ)論，1934年經P.H. van Cittert獨立發展，後來(lái)到1938年又由F. Zernike發展，在處的光源聚集提高(gāo)了屏A上(shàng)任意兩點p1和(hé)p2處場(chǎng)的相關性。van Cittert-Zernike理(lǐ)論建立了部分相幹的複雜度如：

  (4)

其中

(5,6)

 J1是一階第一類貝塞爾函數(shù)， p是小(xiǎo)孔的半徑，d是p1和(hé)p2之間(jiān)中心-中心距離，R是 的焦距長度，r1和(hé)r2是p1和(hé)p2偏離光軸的距離， 是平均波長。 的振幅被稱為(wèi)空(kōng)間(jiān)相幹度。

 

我們調查了小(xiǎo)孔間(jiān)距d對空(kōng)間(jiān)相幹度的影(yǐng)響。在仿真中使用了以下的值： p=0.045mm，R=1505.6 mm， r1=r2=0（在軸上(shàng)）， =0.579μm。 對d的依賴性是振蕩的，這是由于如圖14所示的貝塞爾函數(shù)。對于四個(gè)小(xiǎo)孔間(jiān)距（在圖14中通(tōng)過點标記），通(tōng)過FRED建模，它們在平面F上(shàng)的幹涉圖樣顯示在圖15中。FRED的仿真結果與Thompson and Wolf的結果吻合良好。

 

當兩個(gè)小(xiǎo)孔處的強度相等并且時(shí)間(jiān)相幹性可(kě)以忽略時(shí)，這裏就是這種情況，條紋可(kě)見度等于部分相幹度。條紋可(kě)見度定義為(wèi)：

  (7)

其中Imax和(hé)Imin是條紋輻照度的最大(dà)和(hé)最小(xiǎo)值。将FRED模型與部分相幹度的理(lǐ)論值比較，使用中心條紋的最大(dà)和(hé)最小(xiǎo)輻照度值，估計(jì)四個(gè)小(xiǎo)孔間(jiān)距每一個(gè)的條紋可(kě)見度。在圖14中紅色的X對應于估計(jì)的條紋可(kě)見度，這是基于圖15所示的幹涉圖樣。正如圖14和(hé)15所示，基于FRED模型的近似值合理(lǐ)的靠近理(lǐ)論值。

 

圖14 衍射儀的部分相幹度vs小(xiǎo)孔間(jiān)距。點代表在FRED模型使用的設置處的理(lǐ)論 值。紅色X對應于條紋可(kě)見度（等于 ），這是基于FRED圖（如圖15）計(jì)算(suàn)得(de)出。

 

圖15 四個(gè)不同小(xiǎo)孔間(jiān)距d在平面F上(shàng)的條紋可(kě)見度，以及對應的部分相幹度 和(hé)估計(jì)的條紋可(kě)見度V。

 

參考文獻
 

1. B.J. Thompson & E. Wolf, J. Opt. Soc. Amer., 47 (1957), p.895.

2. Born & Wolfe. Principle of Optics (6th Ed), Pergamon Press, Ch. 10, Sec. 4.3, p. 513

3. Hecht, Eugene. Optics (4th Ed), Addison Wesley, Ch 12.3, p. 571