摘要：我們使用近似的物理(lǐ)光學模模拟了半徑的測量。使用簡單的幾何光線模型替換複雜的物理(lǐ)光學模型，可(kě)以确定在測量中的偏差。
1. 簡介
半徑幹涉測量通(tōng)常通(tōng)過簡單的幾何模型來(lái)模拟，即，來(lái)自物鏡（或标準透鏡）的光線形成錐形并且聚焦到一點[1]。當測試光學器(qì)件變小(xiǎo)和(hé)/或需要更高(gāo)的精度時(shí)，這個(gè)簡單的幾何模型就會(huì)産生(shēng)問題并得(de)到錯誤的半徑測量值。需要完整的物理(lǐ)光學模型來(lái)捕獲系統的衍射效應和(hé)像差。
半徑幹涉測量的原理(lǐ)圖如圖1所示。菲索或泰曼格林幹涉儀都可(kě)用于半徑測量。在菲索幹涉儀中，标準透鏡用作(zuò)聚焦元件、分束和(hé)參考表面。在泰曼格林幹涉儀中，使用分束器(qì)将光分成參考反射鏡和(hé)物鏡，它可(kě)以将光束聚焦到測試部件。
通(tōng)過首先将部件放置在共焦位置，然後将部件移動到貓眼位置，并測量部件移動的距離，來(lái)測量測試部件的半徑，該距離就是測試部件的半徑。當澤尼克多(duō)項式[1]的離焦項為(wèi)零時(shí)，共焦和(hé)貓眼位置重合。在視(shì)覺上(shàng)，靶心環是空(kōng)的。因為(wèi)操作(zuò)者不能将部件準确地放置在所需的位置，所以用于确定共焦和(hé)貓眼位置的最準确的方法是逐步通(tōng)過這兩個(gè)位置。當操作(zuò)者以小(xiǎo)步幅移動部件通(tōng)過共焦和(hé)貓眼時(shí)，我們記錄離焦和(hé)Z位置。然後，我們用一條線拟合離焦VS.Z位置。共焦和(hé)貓眼位置是Z位置軸上(shàng)的截距。這種通(tōng)過共焦和(hé)貓眼步進的方法可(kě)用于精确半徑測量[2]，我們在這裏用于半徑測量的模拟。
圖1：半徑幹涉測量幾何模型原理(lǐ)圖
在NIST的精密半徑幹涉測量實驗顯示了标稱24.466mm半徑的Zerodur球的測量之間(jiān)的差異。球體(tǐ)由坐(zuò)标測量儀機械測量，同時(shí)在使用不同标準透鏡的幹涉儀上(shàng)光學測量[2]。即使考慮了測量中的所有(yǒu)已知偏差和(hé)不确定性，這種在75nm至400nm範圍內(nèi)的差異仍然存在。對于這種差異的解釋可(kě)能是光被假定遵循幾何模型而不是更準确的物理(lǐ)光學模型，我們将在這裏進行(xíng)測試。
在光的幾何模型中，當透鏡的頂點與光的焦點（發生(shēng)在距離聚焦元件一個(gè)焦距處）重合時(shí)，就會(huì)出現貓眼位置。然後，共焦位置距離貓眼位置一個(gè)半徑。在非像差幾何模型中，這發生(shēng)在聚焦元件的波前的曲率等于測試部件的曲率時(shí)。
半徑測量的高(gāo)斯模型表明(míng)了當使用幾何模型而不是更複雜的高(gāo)斯模型時(shí)，半徑測量中存在誤差[3]。對于較小(xiǎo)的半徑部分（<1mm），這個(gè)誤差是在105部件的量級，而對于較大(dà)的部件（25mm），有(yǒu)接近108部件的誤差。當考慮具有(yǒu)半徑像差的高(gāo)斯模型時(shí)，NIST [2]的研究者發現了6nm的誤差（107部件）。這些(xiē)像差是由标準透鏡和(hé)系統中的其他光學元件的缺陷引起的。
下一步是考慮物理(lǐ)光學模型。當然，焦點區(qū)域的分析計(jì)算(suàn)是不可(kě)行(xíng)的，因此需要近似。對于這種物理(lǐ)光學模型，我們使用來(lái)自Photon Engineering的軟件包FRED [4]。
2. FRED模型
FRED通(tōng)過将光源光束近似為(wèi)點網格來(lái)近似物理(lǐ)光學模型，其中每個(gè)點發出高(gāo)斯分布“子束”。 每個(gè)高(gāo)斯子束以ABCD矩陣方法[5]傳輸通(tōng)過光學系統。在每個(gè)子束通(tōng)過系統之後，疊加“探測器(qì)”上(shàng)子束的波前，以近似物理(lǐ)光學模型。FRED是一個(gè)可(kě)視(shì)化軟件包，其中透鏡、反射鏡和(hé)光源都顯示在它們的相對位置。FRED不執行(xíng)幾何分析。
為(wèi)了模拟半徑測量，我們首先插入每個(gè)元件（光源、聚焦透鏡、測試部件和(hé)探測器(qì)）到FRED文件中。然後追迹來(lái)自光源的光線。光線由聚焦元件聚焦，從測試部分反射，再由聚焦元件準直，然後在探測器(qì)處讀取。在探測器(qì)處的期望輸出是波前的相位。我們按照所述步驟通(tōng)過共焦和(hé)貓眼位置，并獲得(de)每個(gè)點的相位圖。然後我們使用Matlab讀取相位數(shù)據和(hé)Z位置，以确定共焦和(hé)貓眼的位置。半徑是兩個(gè)位置之間(jiān)的差，半徑誤差是測試部件的輸入半徑和(hé)輸出半徑之間(jiān)的差。
我們在模拟半徑測量中使用了兩個(gè)不同的光源。我們測試了在整個(gè)圓形孔徑上(shàng)具有(yǒu)恒定強度和(hé)相位的圓形孔徑光束，這模拟了最佳實驗裝置。第二個(gè)光源是高(gāo)斯強度光束，通(tōng)過改變子束的強度，使得(de)強度的疊加是高(gāo)斯分布，來(lái)形成該高(gāo)斯光束。光源波長為(wèi)632.8nm（氦-氖），并設置為(wèi)相幹。子束的數(shù)量可(kě)以改變，并且影(yǐng)響測量的時(shí)間(jiān)和(hé)輸出相位。我們測試了不同孔徑尺寸的光源，從直徑為(wèi)4mm的微幹涉儀到直徑為(wèi)150mm的大(dà)尺度幹涉儀。
我們測試了兩種類型的聚焦元件。因為(wèi)FRED使用實際光學器(qì)件而不是近軸近似，所以典型的透鏡具有(yǒu)太多(duō)的附加的球差。因此，我們首先使用抛物面作(zuò)為(wèi)聚焦元件，接下來(lái)使用具有(yǒu)圓錐表面（以減少(shǎo)像差）的透鏡作(zuò)為(wèi)聚焦元件。我們通(tōng)過改變焦距來(lái)測試不同的數(shù)值孔徑。
我們測試了一系列測試部件，半徑從0.25mm到1mm，用于微幹涉儀裝置，半徑25mm附近，用于宏觀幹涉儀。模拟探測器(qì)以像素劃分，且可(kě)以改變。使用的像素越多(duō)，測量速度就越慢，并會(huì)影(yǐng)響相位輸出。圖4（a）示出了使用抛物面聚焦元件的示例測量。圖4（b）是當部件位于貓眼附近時(shí)的波前相位圖的圖片。主要的誤差是離焦，這表明(míng)部件并不完全在貓眼處。
圖4.（a）FRED中半徑測量示意圖（b）來(lái)自FRED波前相位示例
3. 結果
由于篇幅限制(zhì)，此處僅顯示了幾個(gè)結果。該模型顯示了半徑、貓眼位置和(hé)共焦位置處的誤差。也就是說，輸出半徑不等于輸入半徑，并且貓眼和(hé)共焦位置會(huì)有(yǒu)偏移。圖5顯示出對于改變NA和(hé)部件尺寸而沒有(yǒu)附加的像差的微幹涉儀的模型的結果。如圖5（a）所示，誤差随着的NA目标變小(xiǎo)而增加，如預期的那(nà)樣，因為(wèi)焦點較大(dà)。此外，對于較大(dà)的部件，誤差較小(xiǎo)，如圖5（b）所示。對于在f/3.2和(hé)25mm半徑輸入部件的宏觀尺度幹涉儀，誤差為(wèi)133nm，106中5個(gè)部件。這個(gè)誤差量可(kě)以開(kāi)始解釋在NIST的實驗中所顯示的差異[2]。這些(xiē)誤差不存在任何像差。如果将典型的像差量添加到模型中，則預期誤差将增加，這是我們的工作(zuò)的下一環節。
圖5.使用幾何模型而不是更加複雜的FRED模型的誤差，數(shù)據來(lái)源于微幹涉儀裝置。
4. 討(tǎo)論和(hé)總結
我們預測模型假設将會(huì)在焦點區(qū)域附近受到挑戰，有(yǒu)時(shí)稱為(wèi)焦散。在焦散點附近，射線不垂直于波前，以及“相位偏移”[6]，即使對于無像差波前也是如此。因此，波場(chǎng)的分析具有(yǒu)誤差。最近的一篇出版物很(hěn)好地總結了情況，“對在不同介質之間(jiān)的彎曲界面處具有(yǒu)焦散的波場(chǎng)的分析仍然是一個(gè)重大(dà)挑戰...我們不知道(dào)任何現有(yǒu)的基于光線的模型可(kě)以分析這種情況”[7]。彎曲界面是半徑測量中的測試部件。為(wèi)了解決這個(gè)問題，作(zuò)者提出修改軟件中的高(gāo)斯子束源來(lái)解決這個(gè)問題。這種用于光學建模的方法顯然不在本工作(zuò)的範圍內(nèi)，而是在此介紹FRED中的誤差并作(zuò)為(wèi)未來(lái)研究的方向。
我們進行(xíng)了有(yǒu)限的不确定性分析。第一個(gè)不确定性是散焦對位置圖拟合的不确定性，其由模型故障、解包算(suàn)法中的誤差、相機的像素特性和(hé)澤尼克拟合算(suàn)法中的誤差引起。由拟合引起的半徑不确定性有(yǒu)波動，但(dàn)對于大(dà)多(duō)數(shù)情況可(kě)以估計(jì)在±40nm。FRED模型中的另一個(gè)不确定性來(lái)源是選擇輸入光線子束的數(shù)量和(hé)相機中的像素數(shù)量。這些(xiē)選擇導緻輸出半徑中的±31nm（光源）和(hé)±64nm（探測器(qì)器(qì)）的不确定性。我們使用簡單的和(hé)的平方根法來(lái)組合這三個(gè)不确定性來(lái)源，以估計(jì)來(lái)自FRED模型的半徑的不确定性為(wèi)±81nm。因為(wèi)這種不确定性很(hěn)大(dà)，FRED不太可(kě)能用于校(xiào)正在幾何模型中沒有(yǒu)考慮的高(gāo)精度的偏差，但(dàn)是我們仍然可(kě)以使用FRED尋找趨勢。
我們指出，當使用簡單幾何模型而不是更複雜的物理(lǐ)光學模型時(shí)，在半徑幹涉測量中存在誤差。該誤差随着部件半徑的減小(xiǎo)和(hé)物鏡NA的減小(xiǎo)而增加。這個(gè)誤差可(kě)能有(yǒu)助于解釋一些(xiē)實驗結果中發現的差異。但(dàn)是，物理(lǐ)光學模型的近似不是完美的，也具有(yǒu)不确定性。這種不确定性使得(de)軟件不可(kě)能用于校(xiào)正測量中的偏差。該軟件可(kě)用于顯示由使用幾何模型而不是物理(lǐ)光學模型引起的不确定性的大(dà)小(xiǎo)。
5. 參考文獻
[1] J. Breivenkamp and J.Bruning, “Phase Shifting Interferometry,” in Optical Shop Testing, D. Malacara, ed. (John Wiley and Sons, Inc., NY,1992), 501-598.
[2] T.L. Schmitz, A.D. Davies, and C.J. Evans, “Uncertainties in interferometric measurements of radius of curvature,” in Optical Manufacturing and Testing IV, H.P. Stahl, Ed., Vol. 4451 of Proceedings of SPIE (SPIE, Bellingham, WA, 2001), 432-447.
[3] K. M. Medicus, Improving Measurements Based on the Cat’s Eye Retro-Reflection, Diss., (UNC Charlotte, Charlotte, NC 2006).
[4] Photon Engineering, 440 South Williams Blvd., Suite # 106 Tucson, Arizona 85711, 520-733-9557.
[5] Jacques Arnaud, “Representation of Gaussian beams by complex rays,” Applied Optics, 24, 538-543, (1985).
[6] G.W. Forbes and M.A. Alonso, “Using rays better. I. Theory for smoothly varying media,” JOSA, 18, 1132-1145, (2001).
[7] G.W. Forbes and M.A. Alonso, “Using rays better. III. Theory for smoothly varying media,” JOSA, 18, 1357-1370, (2001).
文章來(lái)源：Medicus, Kate M., and A. Davies. "Physical Optics Modeling of the Interferometric Radius Measurement." Optical Fabrication and Testing2006
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